一种懒人的手动开方方法

(我只会泰勒展开局部近似)

我们的原理是微积分中的Taylor展开公式

\[\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x+O(x^2)\]

如果使用Piano余项，则

\[O(x^2)=\frac{1}{16(1+\xi)^{3/2}}x^3\]

需要将根号下的数适当的变形，变形过程主要是三部

  • 放大（为了更好地找到平方数）
  • 找到最接近的一个平方数
  • 写成$\sqrt{a^2+b}$，要使得$\frac{b}{a^2}$尽可能小，这是为什么要放大的原因
\[\sqrt{a^2+b}=a+\frac{b}{2a}\]

考虑到我们常用的是十进制，一种方便的放手段是整十倍放大到$100\sim10000$之间，这样使用上述估计式的话有效数字能达到3位。

例如估计$\sqrt{2}$，我们的方法是先放大

\[\sqrt{2}=0.1\sqrt{200}\]

然后找到接近的一个平方数

\[\sqrt{200}=\sqrt{225-25}\]

于是$a=15,b=-25$

\[\sqrt{200}=15-\frac{25}{30}=15-5/6=14+1/6=14.16667\]

于是

\[\sqrt{2}=1.416667\]

三位有效数字是有的。